תינוק איז נישט געווען צופרידן.
תינוק פרעגט גוט. וויאזוי קען זיין אז 17 שרייבער פון 17 ארטיקלען האבן 356 טריליאן אפציעס, און 23 שרייבער פון 23 ארטיקלען האבן 25.9 סאקסטיליאן אפציעס? וויאזוי קומט מען אן פון אזאלעכע קליינע נומערן צו אזאלעכע ריזיגע נומערן?תינוק האט געשריבן:עפעס שטומט נישט מיט דיינע נאמבערס. עס איז נישט 17 אויסשטעלונגען פון נומערן, עס איז בסך הכל 17 שרייבערס וואס יעדער קען זיין פאר איינס פון 17 ארטיקלען
מיטן פשוטן אויג מאכט עס טאקע נישט קיין סענס. וויאזוי ווערט פון 23 אזא ריזיגע נומער וואס דער מוח קען נישטאמאל באגרייפן?
כדי דאס צו פארשטיין, לאמיר אנהייבן קליין און גיין מן הקל אל הכבד. לאמיר אנהייבן מיט לערנען איבער פערמיוטעשאן (permutation).
פערמיוטעשאן איז וויאזוי מ'רעכענט אויס וויפיל אפציעס ס'איז דא אויסצושטעלן זאכן אדער נומערן.
לאמיר נעמען א משל פון דריי ארטיקלען (ארטיקל 1, 2 און 3) מיט דריי שרייבער. העמיר נעמען דריי שרייבער לויטן סדר האלף בית פון די שרייבער ביים פארמעסט: איל משולש (א), בעל מדרגה (ב), און געשמאקע צייטן (ג). אונז וויל מיר צוטרעפן ווער ס'האט געשריבן וועלעכע ארטיקל. וויפיל אפציעס זענען דא?
דער ענטפער איז זעקס.
אויב א האט געשריבן ארטיקל 1, איז דא צוויי אפציעס פאר ארטיקל 2, ב אדער ג (א האט דאך געשריבן ארטיקל 1, קען ער נישט האבן געשריבן ארטיקל 2). ווער ס'האט געשריבן ארטיקל 2, קען דאך נישט האבן געשריבן ארטיקל 3, איז אויף ארטיקל 3 דא נאר איין אפציע. אויב האט ב געשריבן ארטיקל 1, דעמאלט האמיר פאר ארטיקל 2 א אדער ג. אויב ג האט געשריבן ארטיקל 1, האמיר פאר ארטיקל 2 א אדער ב. פאר ארטיקל 3 וועט אייביג בלייבן נאר איין אפציע, דער וואס האט נישט געשריבן ארטיקלען 1 און 2.
לאמיר אויסשטעלן אלע אפציעס:
אין אנדערע ווערטער, ביי ארטיקל 1 איז דא דריי אפציעס (א ב ג), ביי ארטיקל 2 איז נאר דא צוויי אפציעס (די צוויי וואס האבן נישט געשריבן ארטיקל 1), און ביי ארטיקל 3 איז שוין נאר דא איין אפציע (ווער ס'האט נישט געשריבן ארטיקלען 1 און 2).
אויב ווילט איר עס אויס רעכענען, קענט איר עס שרייבן 3*2*1. 3 פארן ערשטן ארטיקל וואס האט דריי אפציעס, 2 פארן צווייטן ארטיקל וואס האט צוויי אפציעס, און 1 פארן דריטן ארטיקל וואס האט נאר איין אפציע.
3 מאל 2 איז 6. 6 מאל 1 איז 6.
קוקט צוריק פריער ווען כ'האב אויסגעלייגט אלע אפציעס און איר וועט זען אז ס'זענען טאקע דא זעקס אפציעס.
לאמיר זען אביסל א גרעסערע נומער, 5.
אז מ'האמיר פינף ארטיקלען און פינף שרייבער, העמיר אריינברענגען די שרייבער הלבלר בקולמסו (ה) און יעקב פריינד (י).
אויף וויפיל וועגן קען מען דאס מסדר זיין? 120. אזוי:
דער ערשטער ארטיקל האט דאך פינף אפציעס (א ב ג ה י). ארטיקל 2 האט נאר פיר (די פיר וואס האבן נישט געשריבן ארטיקל 1). ארטיקל 3 האט נאר דריי (די דריי וואס האבן נישט געשריבן ארטיקלען 1 און 2). ארטיקל 4 האט נאר צוויי (די צוויי וואס האבן נישט געשריבן ארטיקלען 1, 2, 3). און ארטיקל 5 האט נאר איינס (ווער ס'האט נישט געשריבן ארטיקלען 1, 2, 3, 4). דאס קומט אויס 120 אפציעס.
לאמיר אויסשטעלן אלע אפציעס:
אויב ווילט איר עס אויס רעכענען, קענט איר עס שרייבן 5*4*3*2*1. 5 מאל 4 איז 20. 20 מאל 3 איז 60. 60 מאל צוויי איז 120. 120 מאל 1 איז 120.
חושבנא הדין כחושבנא הדין.
יעצט אז מ'פארשטיי מיר שוין וואס פערמיוטעשאן איז, לאמיר גיין צו אביסל גרעסערע נומערן:
ביי 10, איז דא 3,628,800 אפציעס.
אז מ'רעכענט גרעסערע נומערן, דארף מען טרעפן עפעס א וועג וויאזוי מ'קען גרינג אויסרעכענען גרעסערע נומערן. ס'איז זייער נישט פראקטיש צו טוהן ביי 10 וואס מ'האמיר געטאן ביי 5, און רעכענען 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1. ס'איז צו א לאנגער חשבון און ס'ווערט נאך לענגער ביי נאך גרעסערע נומערן.
זענען די חכמי החשבון אויפגעקומען מיט א געדאנק, פעקטאריאל (factorial). פעקטאריאל איז דער סך הכל פון א נאטורליכע נומער מאל אלע נאטורליכע נומערן ווייניגער פון דעם.** צו מאכן דעם חשבון גרינגער און שנעל, נוצט מען דעם צייכן "!". טראכט פון דעם ! ווי א חשבון צייכן אזויווי א פלאס (+) אדער מיינס (-). אלעס וואס דער צייכן זאגט איז רעכן אויס דעם נומער מאל אלע נומערן אונטער דעם.
!3 איז 6, !5 איז 120, אא"וו.
!17 איז בערך 356 טריליאן
!23 איז בערך 25.9 סאקסטיליאן
דא האט איר אלע פעקטאריאלס פון 1 ביז 23:
(דער קאלום "Scientific" זאגט וויפיל זיראס דער נומער האט, למשל ביי 16 האט עס 13 זיראס, ביי 20 האט עס 18 זיראס.)
אז איר ווילט עס אליין אויסרעכענען, נעמט דעם קאלקולעטער אויפן קאמפיוטער אדער פאון און טוישט עס צום סייענטיפיק (scientific) קאלקולעטאר און איר וועט טרעפן דעם ! קנעפל (דער קנעפל זעהט אויס אזוי: !x אדער !n). לייגט אריין וועלכע נומער איר ווילט אויסרעכענען, דריקט דעם ! און ס'וועט עס אויסרעכענען.
אויף עקסעל קען מען נוצן דעם פונקציע FACT=.
השתא דאתית להכי, פארשטיי מיר שוין וויאזוי 23 ארטיקלען פון 23 שרייבער האט דעם אסטראנאמישען סכום פון 25.8 סאקסטיליאן אפציעס!
כדי אדורך צו גיין אלע אפציעס, פארלאנגט זיך בערך 8.2 טריליאן מענטשן וואס זאלן לעבן הונדערט יאר און יעדע סעקונדע פון זייער לעבן זאלן זיי פראבירן אן אנדערע אפציע!
און מיר האבן דאס געטאן אין אפאר שעה!
ווייל מיר האבן נישט געהאט קיין רענדאמנעס (randomness). ביי אונז האבן מענטשן פראבירט צוזאם צושטעלן שרייבער לויט זייער סטייל פון שרייבן. ווי איינס האט מעורר געווען:
בנוסף צו דעם, ביי אונז זענען געווען די חברי הנהלת הפארמעסט וואס האבן געוויסט ווער ס'האט געשריבן וועלכע ארטיקל, און זיי האבן געלאזט דעם עולם וויסן וויפיל מ'האט צוגעטראפן וכדו'.איינס האט געשריבן:די טריק דא איז אז סאיז דא נאך א פאקטאר צו צוגלייכן דעם תוכן צום שרייבער
דאס אלעס האט אוועקגענומען דעם רענדאמנעס, און עס געמאכט רעלאטיוו גרינג צו צוטרעפן.
און פארשטייט זיך, פאטאקי'ס עקסעל פייל האט שטארק פארגרינגערט די ארבעט.
לאמיר האפן אז ביים נעקסטן פארמעסט וועל מיר האבן 52 ארטיקלען און מ'וועל מיר קענען אויסשמועסן דאס...
---
* סאקסטיליאן איז א געוואלדיג גרויסער נומער. ס'איז א נומער מיט 21 זיראס! כזה: 1,000,000,000,000,000,000,000.
און אונז רעד מיר דא פון כמעט 26 סאקסטיליאן!
מ'רעד דא פון נומערן וואס דער מענטשליכער מוח קען נישט באגרייפן, אבער כדי לסבר את האוזן, צו אביסל פארשטיין וואספארא גרויסע נומער דאס איז, טראכט דאס פאלגענדע:
איר האט א גרעסערע שאנס צו געווינען דעם פאורבאל לאטערי 88 טריליאן (טריליאן!) מאל, ווי צוזאמפּאָרן יעדן ארטיקל מיטן שרייבער!
אן אנדערע וועג צו קוקן דערויף, ס'נעמט בערך פיר און א האלב ביליאן ליכט יאר צו פאָרן 25.8 סאקסטיליאן מייל! און געדענקט, ליכט פאָרט בערך 5.88 טריליאן מייל א יאר.
** פאר די וואס זענען אביסל באהאוונט אין חשבון: לאמיר נוצן n אלץ א סימן פארן נומער וואס מ'וויל מיר רעכענען. פעקטאריאל רעכנט דעס פאלגענדע:
...*n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)
לאמיר טוישן דעם n פאר א 5. קומט עס אויס 5 מאל (5 מיינס 1) 4, מאל (5 מיינס 2) 3, מאל (5 מיינס 3) 2, מאל (5 מיינס 4) 1.
אדער 5*4*3*2*1, וואס דער סך הכל איז 120.